"Le zéro et l'infini"
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de l'infini "Le zéro et l'infini" |
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Le
XXe siècle a vu l'apparition de
merveilleuses machines qui nous permettent de mieux communiquer, de collecter
plus de données, de calculer avec davantage de précision.
La technologie a augmenté de plusieurs ordres de grandeur nos capacités
dans tous ces domaines. Pourtant, nous ne pouvons traiter qu'une quantité
finie d'informations, manipuler des ensembles finis de chiffres
et écrire des suites finies de caractères. Comment
pourrait-il en être autrement ? Quelle réflexion, d'ailleurs,
pourrait-on bâtir sur cette évidence ? Les mathématiciens
sont confrontés à un univers dont la complexité est
potentiellement infinie. Ils savent donc que la "finitude"
des moyens dont ils disposent n'est pas sans importance en théorie
comme en pratique. Essayons de savoir pourquoi.
Or,
un raisonnement géométrique simple permet de montrer qu'aucun
changement d'échelle ne permet de produire un carré dont
le côté et la diagonale sont tous deux de longueur entière.
Donc, le rapport diagonale/côté est un nombre irrationnel,
c'est-à-dire que le nombre "racine de 2" n'est pas une
fraction dans notre terminologie. Les chercheurs grecs de la jeune École
de Platon étaient conscients de ce phénomène. Leur
problème était de trouver un discours, un logos,
pour décrire et manipuler ces nombres mystérieux. Ce défi
scientifique a été relevé par leur contemporain Eudoxe
de Cnide (400 environ - 347 environ avant J.-C.), à qui on attribue
la théorie grecque des grandeurs. Eudoxe identifie un nombre x
à l'ensemble des fractions inférieures à x, ce qui
permet de fonder une étude rigoureuse des nombres réels,
comme le fera Dedekind au XIXe siècle.
L'admirable théorie d'Eudoxe pose cependant un problème
: pour comparer deux nombres, et pour calculer par encadrements successifs
un nombre irrationnel, il faut effectuer une infinité d'opérations,
ce qui est pratiquement impossible. L'irrationalité de la
racine de 2 n'étonne aujourd'hui plus personne. Nous vivons très
bien avec l'idée que nous ne connaîtrons jamais que des valeurs
approchées de cette grandeur. Mais l'époque moderne a vécu
un événement scientifique assez similaire à la découverte
des irrationnels.
La crise des fondements En 1871, Georg Cantor, pour résoudre le problème de l'unicité du développement d'une fonction en série de Fourier, invente la diagonalisation, qui permet de créer un nouvel objet mathématique à partir d'une infinité d'objets déjà construits. Mais, a-t-on le droit de parler d'un tel objet, qui ne peut être construit que par un infini actuel, c'est-à-dire en considérant "simultanément" tous les objets précédents ? Pour répondre à cette question, Cantor pose les bases de la théorie des ensembles. Il montre d'abord que "quel que soit l'ensemble E, l'ensemble des parties de E a plus d'éléments que E" (voir encadré 1). Mais alors on ne peut pas parler de l'ensemble de tous les ensembles puisque l'ensemble de ses parties en serait un sous-ensemble, ce qui contredit manifestement le fait qu'il a strictement plus d'éléments ! Bien d'autres paradoxes inquiétants voient ensuite le jour (voir encadré 2). Le vertige contemporain Les mathématiciens du début du XXe siècle ont donc été confrontés à la tâche d'axiomatiser l'arithmétique et la théorie des ensembles, et de montrer que les systèmes ainsi construits ne contiennent pas de contradiction. Il faudra trente ans pour que Kurt Gödel crée la surprise en montrant qu'il est impossible de démontrer, en n'employant que des procédés finis, la non-contradiction de l'arithmétique, telle que l'ont formalisée Dedekind et Peano, et a fortiori de la théorie des ensembles qui contient l'arithmétique. Une conséquence importante du résultat de Gödel est la distinction subtile entre vrai et démontrable : certains énoncés de l'arithmétique sont vrais, en ce sens qu'ils sont vérifiés pour tout nombre entier, mais ils ne sont pas démontrables, en ce sens qu'aucun argument ne comportant qu'un nombre fini de signes ne peut les établir. Tarski a ensuite montré que la complexité de l'ensemble des énoncés vrais était intrinsèquement plus grande que celle des énoncés démontrables. En particulier, aucun procédé algorithmique, aucun automate ne peut répondre à toutes les questions arithmétiques. Ces résultats ont été précisés en 1970 par Julia Robinson et Yuri Matijasevic, qui ont montré l'existence de polynômes à plusieurs variables à coefficients entiers qui n'ont pas de racines entières, bien que cela ne puisse être établi par un programme ou par un algorithme. Intuitivement, le théorème de Robinson-Matijacevic nous dit qu'il y a des polynômes sans racines entières, pour lesquels nous ne pourrions montrer cette absence de racines qu'en essayant toutes les valeurs possibles des variables, ce qui est bien sûr impossible. Un puits sans fond Les polynômes de Robinson-Matijasevic sont des objets ad hoc dont les "vrais" arithméticiens ne sont pas tenus de se soucier, mais certains problèmes centraux de l'arithmétique, parmi lesquels une meilleure compréhension de la répartition des nombres premiers, pourraient peut-être donner lieu à des énoncés indémontrablement vrais. En effet, exprimons en termes simples ce que les travaux des logiciens nous ont appris : nous ne connaîtrons jamais que des approximations de la vérité arithmétique. La complexité de l'ensemble des entiers, muni de l'addition et de la multiplication, est effectivement infinie. Et ce dernier fait est capital. En effet, savoir coder et décoder l'information est aujourd'hui plus important que jamais, la connaissance de grands nombres premiers est devenue une donnée stratégique, et les méthodes de factorisation des secrets d'État. Il ne fait aucun doute que nous puiserons encore et encore dans ce réservoir de complexité que sont les nombres entiers. Les logiciens, loin de nous inquiéter, nous rassurent : notre provision est inépuisable.
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