Gestion mathématique des risques financiers

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Les actifs financiers sont régis par des comportements aléatoires qui traduisent la complexité du monde économique et politique. La mesure et la gestion des risques sont ainsi devenus des enjeux majeurs pour les opérateurs des marchés financiers, et intéressent les chercheurs du Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires1. Les outils mathématiques que ces derniers développent offrent une modélisation et des méthodes quantitatives adaptées à la description et au contrôle des risques financiers, en particulier ceux liés aux problèmes des options.

Une option est un titre donnant à son détenteur le droit d'acheter ou de vendre une certaine quantité d'actif financier à une date déterminée (maturité). Ce contrat représente une assurance censée protéger son détenteur de hausses ou de baisses trop brutales de l'actif.

Au moment de la vente de l'option, deux questions se posent : combien doit payer l'acheteur de l'option, autrement dit, quel est son prix ? Quelle stratégie le vendeur doit-il suivre afin de minimiser son risque face à l'évolution aléatoire des actifs financiers ?

La théorie classique repose sur la possibilité de construire un portefeuille de couverture qui "réplique" parfaitement le comportement de l'option. En ce sens, le risque associé à l'émission de l'option est nul et le prix de l'option est déterminé de manière unique par un argument d'arbitrage. Cette propriété "idéale" (on parle alors de marché complet) a fait la force du modèle de Black-Scholes (voir encadré) mais révèle aussi en même temps ses limites : dans un monde de Black-Scholes, les options n'auraient plus lieu d'exister car elles seraient exactement équivalentes à leur portefeuille de couverture !
LE MODELE DE BLACK AND SCHOLES

Dans la modélisation classique de Black and Scholes, l'évolution du prix de l'actif financier St est gouverné par un mouvement brownien géométrique :

dSt = St (µ dt + dWt)

où Wt est un mouvement brownien et où µ la tendance et la volatilité sont des constantes.

Dans ce cadre, il est possible de trouver une valeur initiale et un portefeuille tels que le risque résiduel soit nul, ce qui conduit à la formule de prix de Black et Scholes. Les modélisations plus réalistes des marchés financiers écartent l'hypothèse de volatilité constante, et étudient les cas où la volatilité est aussi aléatoire, par exemple lorsque s est gouverné par un processus de diffusion. On parle alors de modèles à volatilité stochastique. Il est aussi possible de modéliser la présence de sauts, correspondant à des événements soudains dans l'évolution des prix, en remplaçant le mouvement brownien Wt par un processus plus général, comme un processus de Lévy.

Les modélisations plus réalistes des marchés financiers écartent l'hypothèse de lois gaussiennes des prix des actifs du modèle de Black-Scholes. Elles considèrent les cas où la volatilité de l'actif est aussi aléatoire et les cas de présence de sauts dans l'évolution des actifs. D'autre part, la prise en compte des diverses imperfections qui existent sur les marchés financiers, comme l'impossibilité de vendre à découvert ou la présence de frais de transactions à l'achat et à la vente d'actifs, peuvent être aussi modélisées. Dans un tel contexte, les portefeuilles de couverture parfaite n'existent pas : il y a un risque résiduel de couverture qui s'exprime comme la différence entre la valeur de l'option et celle du portefeuille à sa maturité et qui ne peut être totalement éliminé ; il est donc important pour un opérateur du marché de contrôler le risque inhérent à toute option.

Les travaux mathématiques récents sur ces problèmes se fondent sur l'idée très naturelle de minimiser le risque résiduel de couverture. La stratégie de portefeuille optimale qui en découle dépend du critère choisi par l'émetteur de l'option. Les premières approches généralement adoptées consistaient à minimiser la variance du risque résiduel. Cette mesure du risque incluait de manière symétrique les gains et les pertes, ce qui est peu conforme à la notion même de risque, risque qui est perçu comme un risque de perte.

Ainsi, les approches récentes définissent la mesure du risque comme seulement une probabilité de perte, communément appelée Value at Risk (VaR). Il s'agit de minimiser la proba-bilité que le risque résiduel soit au-dessus d'un certain seuil. La modélisation et la résolution mathématique de ces problèmes, en incluant un aspect numérique, doivent apporter une meilleure compréhension et un meilleur contrôle des risques dans un monde financier de plus en plus complexe.

Références :
  • H. Pham. Minimizing shortfall risk and applications to finance and insurance problems. à paraître dans Annals of Applied Probability.
  • H. Föllmer et P. Leukert. Quantile Hedging. Finance and Stochastics. 1999, pp. 251-273.
  • H. Pham. Imperfections de marchés et méthodes d'évaluation et couverture d'options. 1998. Corsi Della Scuola Normale Superiore, Pisa.
  • F. Black et M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy. 1973, pp. 637-654.


    1 CNRS-Universités Paris 6 et 7.

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