Les vagues ont toujours été un objet de fascination tant pour l'homme de la rue que pour des générations entières de mathématiciens¹. Les scientifiques du Centre de mathématiques et de leurs applications (CMLA)² continuent cette longue quête de "démystification" et de modélisation des vagues et se sont penchés sur le phénomène des vagues extrêmes, en collaboration avec des chercheurs de l'Université du Rhode-Island.

Comme les mathématiciens étudient les vagues depuis plus de cent cinquante ans, on pourrait naturellement penser que les vagues ont dévoilé toutes leurs facettes. Il n'en est rien. Les vagues opposent de la résistance ! Le problème mathématique est simple à formuler : comment évolue la surface de l'eau dans le temps et dans l'espace sous l'action de divers phénomènes tels que le vent, un navire en marche, l'impact d'une masse de débris, les variations de la bathymétrie ?

Tsunami. Reproduction du déclenchement du tsunami de 1946 au large des îles aléoutiennes (Alaska). Un glissement de terrain sous-marin s'est produit au niveau de la bosse jaune et a engendré deux vagues : la jaune qui se dirige à droite vers la côte et la rouge qui se dirige à gauche vers l'océan Pacifique et qui a atteint les îles d'Hawaii. Les échelles sont en kilomètres. D.R.

Prenons par exemple le cas des tsunamis qui sont parfois déclenchés par des glissements de terrain sous-marins suite à un séisme. L'un des enjeux est de pouvoir déduire la déformation initiale de la surface de l'eau provoquée par le glissement de terrain, et de calculer ensuite sa propagation. Alors que la phase de propagation peut être décrite de façon satisfaisante par des modèles simplifiés, la phase de déclenchement nécessite l'utilisation des équations complètes de la mécanique des fluides en présence de surface libre (équations d'Euler). Or, l'intégration numérique de ces équations en trois dimensions spatiales constitue un véritable défi, et ce n'est que récemment que l'on a pu reconstituer par exemple le déclenchement des tsunamis d'Alaska (1946) et de Papouasie-Nouvelle Guinée (1998).

Passons maintenant à une autre facette des vagues, leur déferlement sous l'effet de la remontée des fonds. Alors que les surfeurs sont à la recherche de la vague déferlante parfaite, le mathématicien essaie d'en reproduire numériquement la géométrie et de calculer le champ des vitesses et des accélérations au sein de la déferlante.

Formation d'une vague déferlante. Profil d'une vague qui a commencé à déferler. Le déferlement est produit par une remontée du fond qui n'est pas uniforme le long de la ligne des crêtes. D.R.

On arrive maintenant à décrire la formation de tout un rouleau : une partie de la crête se détache localement en un jet, se retourne sur elle-même, plonge en entraînant avec elle toute la ligne des crêtes et forme un véritable tuyau. À ce moment-là, les calculs ne convergent plus car la surface de l'eau devient un mélange d'eau et d'air. Il faut alors utiliser les équations des fluides diphasiques. Le développement d'un code de calcul diphasique est à l'étude.

Le déferlement ne se produit pas qu'au bord des côtes. Des vagues énormes peuvent naître en pleine mer. C'est le cas par exemple de la célèbre vague de Cortes Bank, à 100 miles au large de San Diego, qui se forme en heurtant un récif sous-marin et qui est devenue la vague symbole des surfeurs de l'extrême. Mais il y aussi les vagues que les scientifiques surnomment "freak wave", ou encore "rogue wave". Certains scientifiques francophones utilisent la termino-logie "scélérate" pour décrire ces vagues géantes qui surgissent en pleine mer, même en l'absence de vent et dont l'origine reste encore mystérieuse. Ce qui est sûr, c'est qu'un phénomène de focalisation de l'énergie est à l'origine de ces vagues. À partir des équations, on peut montrer par exemple que la hauteur d'une vague peut être amplifiée par une autre vague qui la rattrape ou la croise. En faisant interagir plusieurs vagues, on peut ainsi générer des vagues gigantesques qui sont redoutées par le navigateur.

Les scientifiques, s'ils ont pu développer des modèles mathématiques complexes, sont encore loin d'avoir percé tous les secrets du Grand Bleu. La prévision de tels phénomènes représente un enjeu de taille pour notre planète.

Un batteur "numérique" situé à gauche (en x = 0) a été programmé pour focaliser l'énergie au centre d'un bassin. Les vagues rouges, qui se déplacent vers la droite, sont d'amplitude extrême. D.R.

Référence :